Calcul d'un nombre dérivé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)   par \(f(x)=x^2+2x-9\) .

Soit  `mathcalC_f` sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan et A le point de `mathcalC_f` d'abscisse \(3\) .

Le but de l'exercice est de déterminer par le calcul la valeur de `f'(3)` .

1. Calculer `f(3).`

2. Développer l'expression \((3+h)^2+2(3+h)-9\) .

3. Soit B le point de la courbe `mathcalC_f` d'abscisse `3+h` , où \(h\) désigne un réel non nul.

Démontrer que l'ordonnée de B est égale à \(h^2+8h+6\) .

4. Démontrer que le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à \(h+8\) .

5. Vers quelle valeur se rapproche ce coefficient directeur lorsque \(h\) est très proche de `0`  ?

6. On admet que la valeur trouvée à la question précédente correspond à \(f'(3).\) Vérifier ce résultat en utilisant la calculatrice.

7. En s'inspirant des questions précédentes, calculer \(f'(-1)\) .